Imagina un número tan pequeño, tan diminuto, que sea más pequeño que cualquier fracción que puedas imaginar, pero que no sea cero. ¿Te resulta difícil? Este concepto, que ha fascinado y desafiado a los matemáticos durante siglos, es la esencia de un infinitesimal.
El término "infinitesimal" proviene del latín "infinitesimus", que significa "infinito-ésimo". Se utiliza para describir cantidades que son más pequeñas que cualquier número real positivo, pero que no son cero. En otras palabras, un infinitesimal es una cantidad que se acerca a cero infinitamente.
La historia de los infinitesimales se remonta a la antigua Grecia, con Zenón de Elea y sus paradojas del movimiento. Sin embargo, no fue hasta el siglo XVII, con el desarrollo del cálculo por parte de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, que los infinitesimales encontraron una base matemática más sólida.
Tanto Newton como Leibniz utilizaron infinitesimales en sus trabajos sobre cálculo, permitiendo el desarrollo de conceptos revolucionarios como la derivada y la integral. La derivada, que mide la tasa de cambio instantánea de una función, se define como el límite de un cociente donde el denominador se acerca a cero, es decir, se convierte en un infinitesimal.
Aunque los infinitesimales demostraron ser increíblemente útiles en matemáticas y física, su naturaleza contradictoria generó controversia durante siglos. ¿Cómo podía algo ser más pequeño que cualquier número real sin ser cero? Esta pregunta condujo a un intenso debate sobre los fundamentos del cálculo.
No fue hasta el siglo XIX, con el desarrollo del análisis matemático moderno por parte de matemáticos como Augustin-Louis Cauchy y Karl Weierstrass, que se estableció una base rigurosa para el cálculo, evitando el uso directo de infinitesimales y reemplazándolos por el concepto de límite.
A pesar de esto, los infinitesimales no desaparecieron del todo. En el siglo XX, el desarrollo del análisis no estándar por parte del matemático Abraham Robinson resucitó el concepto de infinitesimales de forma rigurosa. El análisis no estándar proporciona un marco lógico sólido para trabajar con infinitesimales, ampliando el conjunto de números reales para incluir estos números infinitamente pequeños.
Aunque los infinitesimales ya no son esenciales para la enseñanza o la práctica del cálculo moderno, siguen siendo un concepto fascinante con aplicaciones en áreas como la física teórica y la ingeniería. En física, por ejemplo, se utilizan en la mecánica cuántica y la teoría de cuerdas.
En resumen, los infinitesimales, a pesar de su naturaleza aparentemente contradictoria, han desempeñado un papel crucial en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su historia, desde las paradojas de Zenón hasta el análisis no estándar, ilustra la búsqueda continua de la humanidad por comprender el infinito y lo infinitamente pequeño. Aunque su uso en el cálculo cotidiano ha sido reemplazado por el concepto de límite, siguen siendo una herramienta poderosa para explorar los límites del conocimiento humano.
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